13(16) В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 92. Найдите стороны треугольника АВС.

Пусть O - точка пересечения BE и AD.

Так как BE - биссектриса, а треугольник ABE равнобедренный (BO - высота и биссектриса), то AB = AE.

Так как AD - медиана, то BD = DC.

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому AO = \(\frac{2}{3}\)AD и OD = \(\frac{1}{3}\)AD.

Так как BE = AD = 92, то AO = \(\frac{2}{3}\) \cdot 92 = \(\frac{184}{3}\) и OD = \(\frac{1}{3}\) \cdot 92 = \(\frac{92}{3}\).

BO = \(\frac{2}{3}\)BE = \(\frac{184}{3}\) и OE = \(\frac{1}{3}\)BE = \(\frac{92}{3}\).

Рассмотрим треугольник ABO: он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AO^2 + BO^2 = (\frac{184}{3})^2 + (\frac{184}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{184}{3})^2\] \[AB = \frac{184}{3} \sqrt{2}\]

Так как AB = AE, то AE = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\).

Тогда AC = 2AE = \(\frac{368}{3} \sqrt{2}\).

Рассмотрим треугольник ODE: он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[DE^2 = OD^2 + OE^2 = (\frac{92}{3})^2 + (\frac{92}{3})^2 = 2 \cdot (\frac{92}{3})^2\] \[DE = \frac{92}{3} \sqrt{2}\]

Так как AE = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\), то DC = AE - DE = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\) - \(\frac{92}{3} \sqrt{2}\) = \(\frac{92}{3} \sqrt{2}\).

Тогда BC = 2DC = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\).

Ответ: AB = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\), AC = \(\frac{368}{3} \sqrt{2}\), BC = \(\frac{184}{3} \sqrt{2}\)

Проверка за 10 секунд: Проверьте, что медиана делит сторону пополам, а биссектриса делит угол на два равных угла.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Знание свойств медиан и биссектрис значительно упрощает решение геометрических задач.