п.28. Найдите значение выражения: а) \( \frac{20}{31} \cdot (10 \frac{1}{5} : 2 \frac{4}{9} + 3 \frac{3}{5}) - 2 \frac{5}{6} \) б) \( (2 \frac{1}{15} - 1 \frac{5}{9}) : 2 \frac{2}{7} + 1 \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} - 3 \frac{1}{7} \)

Решение:

а) Вычислим значение выражения:

\[ \frac{20}{31} \cdot (10 \frac{1}{5} : 2 \frac{4}{9} + 3 \frac{3}{5}) - 2 \frac{5}{6} \]

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   $$10 \frac{1}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{51}{5}$$
   $$2 \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$$
   $$3 \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$$
   $$2 \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$$
2. Выполним деление дробей:
   $$\frac{51}{5} : \frac{22}{9} = \frac{51}{5} \cdot \frac{9}{22} = \frac{51 \cdot 9}{5 \cdot 22} = \frac{459}{110}$$
3. Выполним сложение дробей:
   $$\frac{459}{110} + \frac{18}{5} = \frac{459}{110} + \frac{18 \cdot 22}{5 \cdot 22} = \frac{459}{110} + \frac{396}{110} = \frac{459 + 396}{110} = \frac{855}{110}$$
4. Сократим полученную дробь:
   $$\frac{855}{110} = \frac{171 \cdot 5}{22 \cdot 5} = \frac{171}{22}$$
5. Выполним умножение:
   $$\frac{20}{31} \cdot \frac{171}{22} = \frac{20 \cdot 171}{31 \cdot 22} = \frac{10 \cdot 171}{31 \cdot 11} = \frac{1710}{341}$$
6. Выполним вычитание:
   $$\frac{1710}{341} - \frac{17}{6}$$
   Общий знаменатель: $$341 \cdot 6 = 2046$$
   $$\frac{1710 \cdot 6}{341 \cdot 6} - \frac{17 \cdot 341}{6 \cdot 341} = \frac{10260}{2046} - \frac{5797}{2046} = \frac{10260 - 5797}{2046} = \frac{4463}{2046}$$

б) Вычислим значение выражения:

\[ (2 \frac{1}{15} - 1 \frac{5}{9}) : 2 \frac{2}{7} + 1 \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} - 3 \frac{1}{7} \]

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   $$2 \frac{1}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{31}{15}$$
   $$1 \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$$
   $$2 \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$$
   $$1 \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$$
   $$3 \frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7}$$
2. Выполним вычитание в скобках:
   $$\frac{31}{15} - \frac{14}{9} = \frac{31 \cdot 3}{15 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{93}{45} - \frac{70}{45} = \frac{23}{45}$$
3. Выполним деление:
   $$\frac{23}{45} : \frac{16}{7} = \frac{23}{45} \cdot \frac{7}{16} = \frac{23 \cdot 7}{45 \cdot 16} = \frac{161}{720}$$
4. Выполним умножение:
   $$1 \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 7} = \frac{14}{35}$$
5. Сократим полученную дробь:
   $$\frac{14}{35} = \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{2}{5}$$
6. Выполним сложение и вычитание:
   $$\frac{161}{720} + \frac{2}{5} - \frac{22}{7}$$
   Приведем к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 720, 5 и 7: $$720 \cdot 7 = 5040$$.
   $$\frac{161 \cdot 7}{720 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 1008}{5 \cdot 1008} - \frac{22 \cdot 720}{7 \cdot 720} = \frac{1127}{5040} + \frac{2016}{5040} - \frac{15840}{5040} = \frac{1127 + 2016 - 15840}{5040} = \frac{3143 - 15840}{5040} = \frac{-12697}{5040}$$

Ответ: а) \( \frac{4463}{2046} \); б) \( \frac{-12697}{5040} \)