2 Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через точки А и В проведены пря- мые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее в точках А₁ и В₁ соответственно. Найдите АВ, если А₁В₁ = 12 см, АА₁ = 6 см, ВВ₁ = 11 см.

Пусть АВ не пересекает плоскость α. AA₁⊥α, BB₁⊥α. A₁ ∈ α, B₁ ∈ α.

Найти АВ, если A₁B₁ = 12 см, AA₁ = 6 см, BB₁ = 11 см.

Решение:

• Проведем А₁С || АВ₁. Тогда четырехугольник АВ₁СА₁ - прямоугольная трапеция, т.к. АА₁⊥α, BB₁⊥α, значит, АА₁ || ВВ₁.
• Проведем А₁Н⊥В₁В. Тогда А₁Н = A₁B₁ = 12 см, В₁Н = В₁В - НВ = В₁В - А₁А = 11 - 6 = 5 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁ВН: По теореме Пифагора А₁В² = А₁Н² + ВН² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.

А₁В = √169 = 13 см

Ответ: 13 см.