Определите взаимное расположение прямой х=1 и окружности (х-7)² + (у+6)²=81.

Уравнение окружности имеет вид \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \), где \( (a, b) \) — центр окружности, \( R \) — радиус.

Из уравнения \( (x-7)^2 + (y+6)^2 = 81 \) следует, что центр окружности \( C(7, -6) \) и радиус \( R = \sqrt{81} = 9 \).

Прямая имеет уравнение \( x = 1 \).

Найдем расстояние от центра окружности до прямой \( x = 1 \).

Расстояние от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) равно \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).

Для прямой \( x = 1 \) или \( 1x + 0y - 1 = 0 \), \( A=1, B=0, C=-1 \).

Центр окружности \( (x_0, y_0) = (7, -6) \).

Расстояние \( d \):

\[ d = \(\frac{|1 \cdot 7 + 0 \cdot (-6) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}\) = \(\frac{|7 - 1|}{\sqrt{1}}\) = \(\frac{6}{1}\) = 6 \).

Сравним расстояние \( d \) с радиусом \( R \):

\( d = 6 \) и \( R = 9 \).

Так как \( d < R \) (6 < 9), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Прямая пересекает окружность в двух точках.