14.3. Определите объем куба: а) по его диагонали l; б) по площади его поверхности S.

а) По диагонали l

Пошаговое решение:

1. Связь между диагональю куба \(l\) и его ребром \(a\) выражается формулой: \(l = a\sqrt{3}\). Значит, \(a = \frac{l}{\sqrt{3}}\).
2. Объем куба \(V\) равен \(a^3\). Подставим выражение для \(a\): \(V = \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{l^3}{3\sqrt{3}}\).

б) По площади его поверхности S

Пошаговое решение:

1. Площадь поверхности куба \(S\) равна \(6a^2\), где \(a\) – длина ребра. Значит, \(a = \sqrt{\frac{S}{6}}\).
2. Объем куба \(V\) равен \(a^3\). Подставим выражение для \(a\): \(V = \left(\sqrt{\frac{S}{6}}\right)^3 = \left(\frac{S}{6}\right)^{3/2}\).

Ответ: а) \(\frac{l^3}{3\sqrt{3}}\) , б) \(\left(\frac{S}{6}\right)^{3/2}\)