14.6. Измерения прямоугольного бруса: 3 см, 4 см и 5 см. Если увеличить длину каждого его ребра на х сантиметров, то площадь поверхности увеличится на 54 см². Как увеличится его объем?

Пошаговое решение:

1. Площадь поверхности прямоугольного бруса равна \(S = 2(ab + bc + ca)\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – длины ребер.
2. Исходная площадь: \(S_1 = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 3) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94\) см².
3. Площадь после увеличения ребер на \(x\) см: \(S_2 = 2((3+x)(4+x) + (4+x)(5+x) + (5+x)(3+x))\) = \(2(12 + 7x + x^2 + 20 + 9x + x^2 + 15 + 8x + x^2)\) = \(2(47 + 24x + 3x^2) = 94 + 48x + 6x^2\).
4. По условию, \(S_2 - S_1 = 54\), то есть \(94 + 48x + 6x^2 - 94 = 54\), или \(6x^2 + 48x - 54 = 0\).
5. Разделим уравнение на 6: \(x^2 + 8x - 9 = 0\).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9\).
7. Так как длина не может быть отрицательной, то \(x = 1\) см.
8. Исходный объем: \(V_1 = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60\) см³.
9. Объем после увеличения ребер на 1 см: \(V_2 = (3+1)(4+1)(5+1) = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120\) см³.
10. Изменение объема: \(\Delta V = V_2 - V_1 = 120 - 60 = 60\) см³.

Ответ: Объем увеличится на 60 см³