25 Окружности с центрами в точках І и Ј не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении тп. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся также m:n.

Смотри, тут всё логично: 1) Пусть даны две окружности с центрами в точках I и J, не имеющие общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок IJ в отношении m:n. Пусть эта точка касания - K. 2) Пусть IA и JB - радиусы окружностей, проведенные к точкам касания A и B на общей касательной. Тогда IA \(\perp\) AB и JB \(\perp\) AB. 3) Треугольники IAK и JBK - прямоугольные. \(\angle IKA = \angle JKB\) как вертикальные. 4) Следовательно, треугольники IAK и JBK подобны по двум углам (прямой угол и вертикальные углы). 5) Из подобия треугольников следует, что \[\frac{IA}{JB} = \frac{IK}{JK}\] 6) По условию, \[\frac{IK}{JK} = \frac{m}{n}\] 7) Следовательно, \[\frac{IA}{JB} = \frac{m}{n}\] 8) Так как диаметр равен двум радиусам, то \[\frac{2 \cdot IA}{2 \cdot JB} = \frac{IA}{JB} = \frac{m}{n}\] 9) Значит, отношение диаметров окружностей равно отношению m:n.

Ответ: Доказано, что диаметры этих окружностей относятся также m:n.

Проверка за 10 секунд: Проверь ход доказательства, опираясь на признаки подобия треугольников.

Запомни: Если две окружности не пересекаются, то внутренняя касательная делит отрезок между их центрами в отношении, равном отношению радиусов.