26 Найдите больший острый угол прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10-√2, а площадь равна 25-√2.

Разбираемся: 1) Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Дано: \[c = 10\sqrt{2}\], \[S = 25\sqrt{2}\] 2) Площадь прямоугольного треугольника: \[S = \frac{1}{2}ab\] \[25\sqrt{2} = \frac{1}{2}ab\] \[ab = 50\sqrt{2}\] 3) По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\] \[a^2 + b^2 = (10\sqrt{2})^2\] \[a^2 + b^2 = 200\] 4) Рассмотрим квадрат суммы: \[(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\] \[(a + b)^2 = 200 + 2 \cdot 50\sqrt{2}\] \[(a + b)^2 = 200 + 100\sqrt{2}\] 5) Рассмотрим квадрат разности: \[(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\] \[(a - b)^2 = 200 - 2 \cdot 50\sqrt{2}\] \[(a - b)^2 = 200 - 100\sqrt{2}\] 6) Найдем a + b и a - b: \[a + b = \sqrt{200 + 100\sqrt{2}}\] \[a - b = \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}\] 7) Решим систему уравнений: \[\begin{cases} a + b = \sqrt{200 + 100\sqrt{2}} \\ a - b = \sqrt{200 - 100\sqrt{2}} \end{cases}\] 8) Сложим уравнения: \[2a = \sqrt{200 + 100\sqrt{2}} + \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}\] \[a = \frac{\sqrt{200 + 100\sqrt{2}} + \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}}{2}\] 9) Вычтем уравнения: \[2b = \sqrt{200 + 100\sqrt{2}} - \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}\] \[b = \frac{\sqrt{200 + 100\sqrt{2}} - \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}}{2}\] 10) Пусть \(\alpha\) - меньший острый угол, тогда \(\tan(\alpha) = \frac{a}{b}\). Подставим значения a и b: \[\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{200 + 100\sqrt{2}} + \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}}{\sqrt{200 + 100\sqrt{2}} - \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}}\] 11) Используем формулу тангенса половинного угла: \[\tan(\alpha) = 2 - \sqrt{3}\] 12) \(\alpha\) приблизительно равен 15 градусам. 13) Значит, больший угол \[90 - 15 = 75\] градусов.

Ответ: Больший острый угол равен 75 градусов.

Проверка за 10 секунд: Проверь правильность применения теоремы Пифагора и формулы площади.

Читерский прием: Помни, что углы в прямоугольном треугольнике связаны теоремой Пифагора и тригонометрическими функциями.