5. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если $$b_4 = 9$$ и $$b_6 = 36$$.

Дано: $$b_4 = 9$$, $$b_6 = 36$$. Необходимо найти $$S_5$$. Найдем $$q^2$$, используя формулу $$b_6 = b_4 \cdot q^2$$: $$q^2 = \frac{b_6}{b_4} = \frac{36}{9} = 4$$ Значит, $$q = \pm 2$$ Сначала найдем $$b_1$$. Из формулы $$b_4 = b_1 \cdot q^3$$ следует, что $$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$$ Если $$q = 2$$, то $$b_1 = \frac{9}{2^3} = \frac{9}{8}$$ Если $$q = -2$$, то $$b_1 = \frac{9}{(-2)^3} = \frac{9}{-8} = -\frac{9}{8}$$ Теперь найдем $$S_5$$ для обоих случаев: Если $$q = 2$$, то $$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{9}{8}(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{\frac{9}{8}(1 - 32)}{-1} = -\frac{9}{8}(-31) = \frac{279}{8} = 34.875$$ Если $$q = -2$$, то $$S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-\frac{9}{8}(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{-\frac{9}{8}(1 - (-32))}{3} = \frac{-\frac{9}{8}(33)}{3} = -\frac{3}{8}(33) = -\frac{99}{8} = -12.375$$ Ответ: Если $$q = 2$$, то $$S_5 = \frac{279}{8} = 34.875$$. Если $$q = -2$$, то $$S_5 = -\frac{99}{8} = -12.375$$.