416 Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол: 1) 4π; 2) -3/2 π; 3) -6,5π; 4) π/4; 5) π/3; 6) -45°.

Для нахождения координат точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на заданный угол, необходимо использовать тригонометрические функции косинус и синус. Координаты точки будут (cos(α), sin(α)), где α - угол поворота.

1. 4π

   Угол 4π соответствует полному обороту (2π) дважды. Следовательно, координаты точки будут соответствовать начальной точке (1; 0).

   $$\cos(4\pi) = 1$$ $$\sin(4\pi) = 0$$
2. -3/2 π

   Угол -3π/2 соответствует повороту на 3/4 окружности в отрицательном направлении. Это соответствует углу π/2 в положительном направлении.

   $$\cos(-\frac{3}{2}\pi) = 0$$ $$\sin(-\frac{3}{2}\pi) = 1$$
3. -6,5π

   Угол -6,5π можно представить как -6π - 0,5π = -3(2π) - π/2, что соответствует -π/2.

   $$\cos(-6.5\pi) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$$ $$\sin(-6.5\pi) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$$
4. π/4 $$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
5. π/3 $$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
6. -45°

   -45° = -π/4

   $$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

1. (1; 0)
2. (0; 1)
3. (0; -1)
4. ($$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$)
5. ($$\frac{1}{2}$$; $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$)
6. ($$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; -$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$)