5.543 Найдите значение выражения: a) \(\left(\frac{5}{6} + \frac{4}{9}\right) : \frac{5}{6} : \frac{4}{9}\); б) \(\frac{2}{8} : \frac{8}{8} + \left(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{3}{5}\right) : \frac{7}{15}\).

а)

\(\left(\frac{5}{6} + \frac{4}{9}\right) : \frac{5}{6} : \frac{4}{9}\)

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \(\frac{5}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15 + 8}{18} = \frac{23}{18}\)
2. Заменим деление умножением: \(\frac{23}{18} : \frac{5}{6} : \frac{4}{9} = \frac{23}{18} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{9}{4} = \frac{23 \cdot 6 \cdot 9}{18 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{1242}{360}\)
3. Выполним сокращение: \(\frac{1242}{360} = \frac{69}{20}\)
4. Представим в виде смешанной дроби: \(\frac{69}{20} = 3 \frac{9}{20}\)

Ответ: \(\frac{69}{20}\) или \(3 \frac{9}{20}\)

б)

\(\frac{2}{8} : \frac{8}{8} + \left(3 \frac{1}{3} - 2 \frac{3}{5}\right) : \frac{7}{15}\)

1. Выполним деление: \(\frac{2}{8} : \frac{8}{8} = \frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} = \frac{2 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}\)
2. Представим смешанные дроби в виде неправильных: \(3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}\); \(2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}\)
3. Выполним вычитание в скобках: \(\frac{10}{3} - \frac{13}{5} = \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{50}{15} - \frac{39}{15} = \frac{50 - 39}{15} = \frac{11}{15}\)
4. Выполним деление: \(\frac{11}{15} : \frac{7}{15} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{7} = \frac{11 \cdot 15}{15 \cdot 7} = \frac{165}{105} = \frac{11}{7}\)
5. Выполним сложение: \(\frac{1}{4} + \frac{11}{7} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{11 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{44}{28} = \frac{7 + 44}{28} = \frac{51}{28}\)
6. Представим в виде смешанной дроби: \(\frac{51}{28} = 1 \frac{23}{28}\)

Ответ: \(\frac{51}{28}\) или \(1 \frac{23}{28}\)