Найдите значение выражения (tg 5π/16 + tg 3π/16) · cos π/8.

Решение:

Воспользуемся тригонометрическими формулами для упрощения выражения.

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \( \text{tg } \frac{5\pi}{16} + \text{tg } \frac{3\pi}{16} = \frac{\sin \frac{5\pi}{16}}{\cos \frac{5\pi}{16}} + \frac{\sin \frac{3\pi}{16}}{\cos \frac{3\pi}{16}} \)
2. Сложим дроби: \( = \frac{\sin \frac{5\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16} + \cos \frac{5\pi}{16} \sin \frac{3\pi}{16}}{\cos \frac{5\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16}} \)
3. Числитель — это синус суммы углов: \( \sin(\frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}) = \sin(\frac{8\pi}{16}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).
4. Знаменатель используем формулу произведения косинусов: \( \cos \frac{5\pi}{16} \cos \frac{3\pi}{16} = \frac{1}{2} [\cos(\frac{5\pi}{16} - \frac{3\pi}{16}) + \cos(\frac{5\pi}{16} + \frac{3\pi}{16})] \)
5. \( = \frac{1}{2} [\cos(\frac{2\pi}{16}) + \cos(\frac{8\pi}{16})] = \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{8}) + \cos(\frac{\pi}{2})] = \frac{1}{2} [\cos(\frac{\pi}{8}) + 0] = \frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{8}) \).
6. Таким образом, выражение в скобках равно: \( \frac{1}{\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos(\frac{\pi}{8})} \).
7. Теперь умножим на \( \cos(\frac{\pi}{8}) \): \( \frac{2}{\cos(\frac{\pi}{8})} \cdot \cos(\frac{\pi}{8}) = 2 \).

Ответ: 2