Найдите значение выражения sin 56° + cos 26° - √3 cos 4°.

Решение:

Перепишем выражение, используя тригонометрические тождества:

1. Применим формулу синуса суммы: \( \sin 56° = \sin (90° - 34°) = \cos 34° \).
2. Заметим, что \( \cos 26° = \cos (30° - 4°) \).
3. Разложим \( \cos (30° - 4°) \) по формуле косинуса разности: \( \cos 30° \cos 4° + \sin 30° \sin 4° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° + \frac{1}{2} \sin 4° \).
4. Подставим полученные выражения в исходное: \( \cos 34° + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° + \frac{1}{2} \sin 4° - \sqrt{3} \cos 4° \)
5. Перегруппируем слагаемые: \( \cos 34° + \frac{1}{2} \sin 4° + \cos 4° (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) \)
6. Упростим: \( \cos 34° + \frac{1}{2} \sin 4° - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° \)
7. Этот путь сложен. Попробуем другой подход. Заметим, что \( 56° = 60° - 4° \) и \( 26° = 30° - 4° \).
8. Представим \( \sin 56° \) как \( \sin (60°-4°) = \sin 60° \cos 4° - \cos 60° \sin 4° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° - \frac{1}{2} \sin 4° \).
9. Представим \( \cos 26° \) как \( \cos (30°-4°) = \cos 30° \cos 4° + \sin 30° \sin 4° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° + \frac{1}{2} \sin 4° \).
10. Сложим эти два выражения: \( \sin 56° + \cos 26° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° - \frac{1}{2} \sin 4° + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4° + \frac{1}{2} \sin 4° = \sqrt{3} \cos 4° \).
11. Теперь подставим это в исходное выражение: \( \sqrt{3} \cos 4° - \sqrt{3} \cos 4° \).
12. Получаем \( 0 \).

Ответ: 0