Найдите значение выражения log₇² 14 + log₇ 14 · log₇ 2 - 2log₂² 2/log₇ 14 + 2log₇2.

Пошаговое решение:

1. Упрощаем числитель: \[\log_7^2 14 + \log_7 14 \cdot \log_7 2 - 2 \log_2^2 2 = \log_7^2 14 + \log_7 14 \cdot \log_7 2 - 2 \cdot 1^2 = \log_7^2 14 + \log_7 14 \cdot \log_7 2 - 2\]
2. Упрощаем знаменатель: \[\log_7 14 + 2\log_7 2 = \log_7 14 + \log_7 2^2 = \log_7 14 + \log_7 4 = \log_7 (14 \cdot 4) = \log_7 56\]
3. Представляем 14 как произведение 7 и 2: \[\log_7 14 = \log_7 (7 \cdot 2) = \log_7 7 + \log_7 2 = 1 + \log_7 2\]
4. Тогда: \[\log_7^2 14 = (1 + \log_7 2)^2 = 1 + 2\log_7 2 + \log_7^2 2\]
5. Подставляем в исходное выражение: \[\frac{1 + 2\log_7 2 + \log_7^2 2 + (1 + \log_7 2) \cdot \log_7 2 - 2}{\log_7 56} = \frac{1 + 2\log_7 2 + \log_7^2 2 + \log_7 2 + \log_7^2 2 - 2}{\log_7 56}\]
6. Упрощаем числитель: \[\frac{2\log_7^2 2 + 3\log_7 2 - 1}{\log_7 56}\] Дальнейшее упрощение не представляется возможным.

Ответ: (2log₇² 2 + 3log₇ 2 - 1) / log₇ 56