Найдите значение выражения: \( \frac{a+4}{4a} \cdot \frac{8a^2}{a^2-16} \; при \; a = 3 \)

Задание: Нахождение значения выражения

Дано выражение: \( \frac{a+4}{4a} \cdot \frac{8a^2}{a^2-16} \) при \( a = 3 \).

Шаг 1: Упростим выражение

Сначала разложим знаменатель второй дроби \( a^2 - 16 \) по формуле разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

\( a^2 - 16 = (a-4)(a+4) \)

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{a+4}{4a} \cdot \frac{8a^2}{(a-4)(a+4)} \]

Шаг 2: Сократим дробь

Можно сократить \( (a+4) \) в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби.

Можно сократить \( 4a \) в знаменателе первой дроби и \( 8a^2 \) в числителе второй дроби ( \( 8a^2 / 4a = 2a \) ).

После сокращения получим:

\[ \frac{1}{1} \cdot \frac{2a}{a-4} \]

\[ \frac{2a}{a-4} \]

Шаг 3: Подставим значение \( a = 3 \)

Теперь подставим \( a = 3 \) в упрощенное выражение:

\[ \frac{2 \cdot 3}{3 - 4} \]

\[ \frac{6}{-1} \]

\[ -6 \]

Ответ: -6