2. Вычислите: \( \frac{5^{-3} \cdot 5^{-5}}{5^{-4}} \)

Задание 2. Вычисление значения выражения

Дано выражение: \( \frac{5^{-3} \cdot 5^{-5}}{5^{-4}} \)

Шаг 1: Используем свойства степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ 5^{-3} \cdot 5^{-5} = 5^{-3 + (-5)} = 5^{-8} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{5^{-8}}{5^{-4}} \]

Шаг 2: Используем свойства степеней при делении

При делении степеней с одинаковым основанием показатель делимого вычитается из показателя делителя:

\[ \frac{5^{-8}}{5^{-4}} = 5^{-8 - (-4)} = 5^{-8 + 4} = 5^{-4} \]

Шаг 3: Переведем отрицательную степень в положительную

Степень с отрицательным показателем равна дроби, где числитель — 1, а знаменатель — основание степени с положительным показателем:

\[ 5^{-4} = \frac{1}{5^4} \]

Шаг 4: Вычислим значение знаменателя

\[ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 \]

Ответ: \( \frac{1}{625} \)