5. Найдите значение выражения \frac{\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} - \sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}}}{8}.

Ответ: -\frac{\sqrt{2}}{4}

Шаг 1: Упростим выражение \(\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} - \sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}}\)

\(\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} = \sqrt{8} |cos \frac{3π}{8}|\), так как \(\frac{3π}{8}\) лежит в первой четверти, то \(cos \frac{3π}{8} > 0\), поэтому \(\sqrt{8} cos \frac{3π}{8}\)

\(\sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}} = \sqrt{8} |sin \frac{3π}{8}|\), так как \(\frac{3π}{8}\) лежит в первой четверти, то \(sin \frac{3π}{8} > 0\), поэтому \(\sqrt{8} sin \frac{3π}{8}\)

Тогда \(\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} - \sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}} = \sqrt{8} cos \frac{3π}{8} - \sqrt{8} sin \frac{3π}{8} = \sqrt{8} (cos \frac{3π}{8} - sin \frac{3π}{8})\)

Шаг 2: Преобразуем \(cos \frac{3π}{8} - sin \frac{3π}{8}\) . Умножим и разделим выражение на \(\sqrt{2}\).

\(cos \frac{3π}{8} - sin \frac{3π}{8} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} cos \frac{3π}{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} sin \frac{3π}{8}) = \sqrt{2}(cos \frac{π}{4} cos \frac{3π}{8} - sin \frac{π}{4} sin \frac{3π}{8}) = \sqrt{2} cos (\frac{π}{4} + \frac{3π}{8}) = \sqrt{2} cos \frac{5π}{8}\)

Так как \(cos \frac{5π}{8} = -cos(\frac{5π}{8} - π) = -cos(-\frac{3π}{8}) = -cos(\frac{3π}{8})\), выражение равно \(-\sqrt{2} cos \frac{3π}{8}\)

Итого: \(\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} - \sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}} = \sqrt{8} \cdot ( -\sqrt{2} cos \frac{3π}{8}) = -4 cos \frac{3π}{8}\)

Шаг 3: Подставим в исходное выражение:

\(\frac{\sqrt{8cos^2 \frac{3π}{8}} - \sqrt{8sin^2 \frac{3π}{8}}}{8} = \frac{-\sqrt{8}sin(\frac{3π}{8}-\frac{π}{4})}{8} = \frac{\sqrt{8}(cos \frac{3π}{8} - sin \frac{3π}{8})}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Ответ: -\frac{\sqrt{2}}{4}