678. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего.

Пусть первое нечётное число равно $$x$$, тогда второе равно $$(x + 2)$$, а третье $$(x + 4)$$. Квадрат первого из них равен $$x^2$$. Удвоенная сумма второго и третьего равна $$2((x + 2) + (x + 4)) = 2(2x + 6) = 4x + 12$$. Составим уравнение:

$$x^2 = 4x + 12 + 33$$

$$x^2 - 4x - 45 = 0$$

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Так как числа натуральные, то подходит только $$x = 9$$. Тогда второе число равно $$9 + 2 = 11$$, а третье равно $$9 + 4 = 13$$.

Ответ: 9, 11 и 13.