Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 6 см меньше другого, а гипотенуза равна 30 см. Решите с помощью квадратных уравнений.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Обозначение переменных:** Пусть один катет равен \(x\) см. Тогда другой катет будет \(x - 6\) см. Гипотенуза равна 30 см. 2. **Использование теоремы Пифагора:** По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[x^2 + (x-6)^2 = 30^2\] 3. **Раскрытие скобок и упрощение уравнения:** Раскроем скобки и упростим уравнение: \[x^2 + (x^2 - 12x + 36) = 900\] \[2x^2 - 12x + 36 = 900\] 4. **Приведение к стандартному виду квадратного уравнения:** Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение в стандартном виде: \[2x^2 - 12x + 36 - 900 = 0\] \[2x^2 - 12x - 864 = 0\] 5. **Упрощение квадратного уравнения:** Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты: \[x^2 - 6x - 432 = 0\] 6. **Решение квадратного уравнения:** Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -432\). Подставим эти значения в формулу: \[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-432)}}{2(1)}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{2}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{2}\] \[x = \frac{6 \pm 42}{2}\] 7. **Нахождение корней:** У нас есть два возможных значения для \(x\): \[x_1 = \frac{6 + 42}{2} = \frac{48}{2} = 24\] \[x_2 = \frac{6 - 42}{2} = \frac{-36}{2} = -18\] Так как длина катета не может быть отрицательной, то \(x = 24\) см. 8. **Нахождение второго катета:** Второй катет равен \(x - 6 = 24 - 6 = 18\) см. 9. **Проверка решения:** Проверим наше решение, подставив значения катетов в теорему Пифагора: \[24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\] \[30^2 = 900\] Таким образом, \(24^2 + 18^2 = 30^2\), что подтверждает правильность решения. **Ответ:** Катеты прямоугольного треугольника равны **24 см** и **18 см**.