Найдите точку минимума функции y = x³/3 - 49x - 42.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и найти корни.

Дана функция: \( y = \frac{x^3}{3} - 49x - 42 \).

1. Найдем производную функции \( y' \):
   \( y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 49x - 42\right) \)
   \( y' = \frac{3x^2}{3} - 49 \)
   \( y' = x^2 - 49 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( x^2 - 49 = 0 \)
   \( x^2 = 49 \)
   \( x = \pm \sqrt{49} \)
   \( x = 7 \) или \( x = -7 \)
3. Определим, какая из этих точек является точкой минимума. Для этого найдем вторую производную:
   \( y'' = \frac{d}{dx}(x^2 - 49) = 2x \)
4. Подставим критические точки во вторую производную:
   
   • При \( x = 7 \): \( y'' = 2 \cdot 7 = 14 \). Так как \( y'' > 0 \), то при \( x = 7 \) функция имеет минимум.
   • При \( x = -7 \): \( y'' = 2 \cdot (-7) = -14 \). Так как \( y'' < 0 \), то при \( x = -7 \) функция имеет максимум.

Следовательно, точка минимума функции находится при \( x = 7 \).

Ответ: 7