№12 Найдите точку максимума функции и = x⁵ - 5x³ - 20x На рисунке изображен график функции f(x) = a sin x + b. Найдите а.

Ответ:

Найдем производную функции \(u(x) = x^5 - 5x^3 - 20x\): \[u'(x) = 5x^4 - 15x^2 - 20\] Приравняем производную к нулю: \[5x^4 - 15x^2 - 20 = 0\] Разделим обе части на 5: \[x^4 - 3x^2 - 4 = 0\] Введем замену \(t = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[t^2 - 3t - 4 = 0\] Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. По теореме Виета: \[t_1 + t_2 = 3\] \[t_1 \cdot t_2 = -4\] Подходящие корни: \(t_1 = 4\), \(t_2 = -1\). Так как \(t = x^2\), то \(x^2 = 4\) или \(x^2 = -1\). Второй случай не имеет решений в действительных числах. Из \(x^2 = 4\) получаем \(x = \pm 2\). Теперь найдем вторую производную функции \(u(x)\): \[u''(x) = 20x^3 - 30x\] Вычислим вторую производную в точках \(x = 2\) и \(x = -2\): \[u''(2) = 20(2)^3 - 30(2) = 20(8) - 60 = 160 - 60 = 100\] \[u''(-2) = 20(-2)^3 - 30(-2) = 20(-8) + 60 = -160 + 60 = -100\] Так как \(u''(-2) < 0\), точка \(x = -2\) является точкой максимума. На рисунке изображен график функции \(f(x) = a \sin x + b\). Найдем \(a\). На графике видно, что максимальное значение функции равно 1, а минимальное значение равно -1. Амплитуда \(a\) вычисляется как половина разницы между максимальным и минимальным значениями функции: \[a = \frac{f_{max} - f_{min}}{2}\] Подставим значения: \[a = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Ответ: -2; 1

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно вычислил первую и вторую производные, нашел корни и определил точку максимума.

Доп. профит: База: Точка максимума - это точка, где первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.