14. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см².

Пусть $$d_1$$ и $$d_2$$ – диагонали ромба, и $$d_1 : d_2 = 1 : 2$$, значит $$d_1 = x$$, $$d_2 = 2x$$. Площадь ромба $$S = 12$$ см².

Площадь ромба через диагонали: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$.

Подставим известные значения: $$12 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x$$; $$12 = x^2$$, значит $$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$.

Тогда $$d_1 = 2\sqrt{3}$$ см, $$d_2 = 4\sqrt{3}$$ см.

Сторону ромба можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

$$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = (\frac{2\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{4\sqrt{3}}{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 3 + 12 = 15$$.

Сторона ромба: $$a = \sqrt{15}$$ см.

Ответ: Сторона ромба равна $$\sqrt{15}$$ см.