9. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 13, а разность диагоналей равна 14.

Пусть одна диагональ ромба равна d1, а другая d2. Из условия задачи известно, что:

$$a = 13$$

$$d_2 - d_1 = 14$$, или $$d_2 = d_1 + 14$$

Так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, то, по теореме Пифагора:

$$(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$$

Подставим известные значения:

$$(d_1/2)^2 + ((d_1+14)/2)^2 = 13^2$$

$$d_1^2/4 + (d_1^2 + 28d_1 + 196)/4 = 169$$

$$d_1^2 + d_1^2 + 28d_1 + 196 = 676$$

$$2d_1^2 + 28d_1 - 480 = 0$$

$$d_1^2 + 14d_1 - 240 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 14^2 - 4 \cdot (-240) = 196 + 960 = 1156$$

$$d_1 = (-14 + \sqrt{1156}) / 2 = (-14 + 34) / 2 = 20 / 2 = 10$$

$$d_2 = d_1 + 14 = 10 + 14 = 24$$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120$$

Ответ: 120