Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² + 5, y = x + 3

Решение:

1. Найдем точки пересечения параболы \( y = -x^2 + 5 \) и прямой \( y = x + 3 \). Для этого приравняем их правые части:

\( -x^2 + 5 = x + 3 \)

Перенесем все в одну сторону:

\( -x^2 - x + 5 - 3 = 0 \)

\( -x^2 - x + 2 = 0 \)

Умножим на -1:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \).

2. Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, находится как интеграл разности функций между точками их пересечения. Верхней функцией является та, значение которой больше в интервале между точками пересечения. Проверим, например, в точке \( x = 0 \): \( y_{параболы} = -0^2 + 5 = 5 \), \( y_{прямой} = 0 + 3 = 3 \). Значит, парабола \( y = -x^2 + 5 \) — верхняя функция.

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 5) - (x + 3)) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \]

3. Найдем первообразную:

\[ \int (-x^2 - x + 2) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x + C \]

4. Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} \]

\[ S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \]

\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \]

Сократим дробь:

\[ S = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Ответ: 4.5.