7 Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами AB = 5 см, BC = 13 см, AC = 12 см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

Значит, треугольник ABC - прямоугольный, и его площадь равна:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ см}^2$$

2. Рассмотрим треугольник ADC со сторонами AD = 15 см, CD = 9 см, AC = 12 см. Проверим, является ли он прямоугольным:

$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$$

Значит, треугольник ADC - прямоугольный, и его площадь равна:

$$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ см}^2$$

3. Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ADC:

$$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 54 = 84 \text{ см}^2$$

Ответ: 84 см²