Решение задачи 516

Дано: треугольник ABC, BC = 34 см, MN ⊥ AC, MN - перпендикуляр из середины BC, AN = 25 см, NC = 15 см.

Найти: S_ABC

Решение:

1. AC = AN + NC = 25 см + 15 см = 40 см

2. Т.к. MN проведен из середины BC, то BN = NC = 34 см / 2 = 17 см.

3. Рассмотрим треугольник MNC. Он прямоугольный, т.к. MN ⊥ AC. По теореме Пифагора:

   MC² = MN² + NC²

   MN² = MC² - NC²

4. Т.к. MN - перпендикуляр из середины BC, а не медиана, то треугольник ABC не является равнобедренным. Значит, не можем утверждать, что MC = BN = 17 см.

   Рассмотрим подобные треугольники ANM и ABC (угол A - общий, углы ANM и ACB - прямые). Тогда можно составить пропорцию:

   $$ \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} $$

   Или

   $$ \frac{25}{40} = \frac{MN}{34} $$

   Отсюда:

   MN = (25 * 34) / 40 = 21,25 см.

5. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию:

   S_ABC = 1/2 * AC * MN = 1/2 * 40 см * 21,25 см = 425 см²

Ответ: 425 см².