Найдите периметр остроугольного треугольника, две стороны которого имеют длины 3 и 4, а длина третьей стороны принимает наибольшее возможное целое значение.

Ответ: 10

Пусть a = 3, b = 4, а c - третья сторона.

По неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

• a + b > c
• a + c > b
• b + c > a

То есть:

• 3 + 4 > c
• 3 + c > 4
• 4 + c > 3

Отсюда:

• 7 > c
• c > 1
• c > -1

Получается, 1 < c < 7.

Так как треугольник остроугольный, то квадрат каждой стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон:

• a² < b² + c²
• b² < a² + c²
• c² < a² + b²

То есть:

• 3² < 4² + c²
• 4² < 3² + c²
• c² < 3² + 4²

• 9 < 16 + c²
• 16 < 9 + c²
• c² < 9 + 16

• c² > -7 (всегда верно)
• c² > 7
• c² < 25

• c > √7 ≈ 2.65
• c < 5

Таким образом, √7 < c < 5.

Наибольшее целое значение c, удовлетворяющее этому условию, равно 4.

Тогда периметр равен:

P = a + b + c = 3 + 4 + 3 = 10

Ответ: 10