18. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна \(14\sqrt{2}\), а боковое ребро равно 50.

Пусть сторона основания равна ( a = 14sqrt{2} ), а боковое ребро равно ( b = 50 ). Найдем сначала диагональ основания ( d ): ( d = asqrt{2} = 14sqrt{2} cdot sqrt{2} = 14 cdot 2 = 28 ) Тогда половина диагонали ( rac{d}{2} = 14 ). Теперь найдем высоту пирамиды ( h ) с помощью теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: ( h^2 + (rac{d}{2})^2 = b^2 ) ( h^2 + 14^2 = 50^2 ) ( h^2 + 196 = 2500 ) ( h^2 = 2500 - 196 = 2304 ) ( h = sqrt{2304} = 48 ) Теперь найдем площадь основания ( S ): ( S = a^2 = (14sqrt{2})^2 = 196 cdot 2 = 392 ) И, наконец, найдем объем пирамиды: ( V = rac{1}{3} cdot S cdot h = rac{1}{3} cdot 392 cdot 48 = 392 cdot 16 = 6272 ) Ответ: 6272