На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ = СМ. Отрезок МК – биссектриса треугольника АМС. Докажи те, что МК || ВС.

Рассмотрим треугольник BCM. Так как BM = CM, то треугольник BCM - равнобедренный с основанием BC. Следовательно, углы MBC и MCB равны: ∠MBC = ∠MCB.

Так как MK - биссектриса угла AMC, то углы AMK и CMK равны: ∠AMK = ∠CMK.

Сумма углов треугольника AMC равна 180°, следовательно, ∠AMC + ∠MAC + ∠ACM = 180°.

Сумма углов треугольника ABC равна 180°, следовательно, ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°.

Заметим, что ∠BAC = ∠MAC и ∠ACB = ∠MCB.

Тогда ∠AMC + ∠MAC + ∠ACM = ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB.

Следовательно, ∠AMC = ∠ABC + ∠ACB - ∠MAC - ∠ACM.

Так как ∠ABC = ∠ACB, то ∠AMC = 2∠ABC.

Поскольку MK - биссектриса угла AMC, то ∠CMK = (1/2)∠AMC = ∠ABC.

Получается, что ∠CMK = ∠ABC. Эти углы являются соответственными углами при прямых MK и BC и секущей BM.

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MK || BC.

Ответ: MK || BC, так как ∠CMK = ∠ABC, а они являются соответственными углами при прямых MK и BC и секущей BM.