171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3:4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Решение: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, и основание AC = 12 см. Вписанная окружность касается боковой стороны AB в точке K так, что AK:KB = 3:4. Необходимо найти длину боковой стороны AB. 1. Обозначим AK = 3x и KB = 4x. Тогда AB = AK + KB = 3x + 4x = 7x. Поскольку треугольник равнобедренный, то AB = BC = 7x. 2. Пусть окружность касается основания AC в точке M. Поскольку AM и AK являются отрезками касательных, проведенных из одной точки к окружности, то AM = AK = 3x. 3. Так как треугольник ABC равнобедренный, медиана BM является и высотой, и биссектрисой. Значит, AM = MC = AC/2 = 12/2 = 6 см. Таким образом, 3x = 6, откуда x = 2. 4. Теперь мы можем найти длину боковой стороны AB: AB = 7x = 7 * 2 = 14 см. Ответ: Боковая сторона треугольника равна 14 см.