1. На рисунке МN || АС. а) Докажите, что △ MBN подобен Д АВС. б) Найдите MN, если АМ-6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см.

а) Доказательство, что △ MBN подобен △ АВС:

Рассмотрим треугольники MBN и ABC. ∠B - общий. Так как MN || AC, то ∠BMN = ∠BAC и ∠BNM = ∠BCA как соответственные углы при параллельных прямых и секущей. Следовательно, △ MBN подобен △ АВС по трем углам (по первому признаку подобия треугольников).

б) Найдем MN:

Так как △ MBN подобен △ АВС, то составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}$$

Выразим сторону BA:

$$BA = BM + MA = 8 + 6 = 14 \text{ см}$$

Тогда:

$$\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}$$ $$\frac{8}{14} = \frac{MN}{21}$$

Выразим MN:

$$MN = \frac{8 \cdot 21}{14} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$$

Ответ: 12 см