247 На рисунке 130 АВ = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину ос- нования ВС и перпендикулярна к нему.

а) Докажем, что треугольник ВОС – равнобедренный.

1. Т.к. АВ = АС, то треугольник ABC – равнобедренный.
2. Значит, углы при основании ВС равны: ∠ABC = ∠ACB.
3. Т.к. ВО и СО – биссектрисы углов В и С, то ∠OBC = 1/2 ∠ABC и ∠OCB = 1/2 ∠ACB.
4. Следовательно, ∠OBC = ∠OCB, а значит, треугольник ВОС – равнобедренный.

б) Докажем, что прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

1. Рассмотрим треугольники АВР и ACQ:
2. AP = AQ (по условию), AB = AC (по условию), ∠A - общий.
3. Значит, треугольники ABP и ACQ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
4. Следовательно, BP = CQ и ∠ABP = ∠ACQ.
5. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то AM – медиана и высота (свойство равнобедренного треугольника).
6. Т.е. AM перпендикулярна BC и делит BC пополам.
7. Т.к. О лежит на AM, то прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Ответ: а) Треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему, что и требовалось доказать.