251 На рисунке 135 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника АВС, OE || AB, OD || АС. Докажите, что периметр ΔEDO равен длине отрезка ВС.

Для доказательства того, что периметр треугольника ΔEDO равен длине отрезка BC, нам нужно доказать, что DE + EO + OD = BC.

1. Так как OE || AB и OD || AC, то образуются пары равных углов как соответственные при параллельных прямых и секущих.

2. Луч BO - биссектриса угла B, следовательно, ∠ABO = ∠OBE. Так как OE || AB, то ∠ABO = ∠BEO как накрест лежащие углы. Из этого следует, что ∠OBE = ∠BEO. Значит, треугольник BEO - равнобедренный, и BE = EO.

3. Луч CO - биссектриса угла C, следовательно, ∠ACO = ∠DCO. Так как OD || AC, то ∠ACO = ∠DOC как накрест лежащие углы. Из этого следует, что ∠DCO = ∠DOC. Значит, треугольник CDO - равнобедренный, и CD = OD.

4. Рассмотрим периметр треугольника ΔEDO: P = DE + EO + OD. Мы уже знаем, что EO = BE и OD = CD. Следовательно, P = DE + BE + CD.

5. Отрезок DE = BD - BE, а отрезок BC = BD + CD.

6. Значит, P = DE + BE + CD = (BD - BE) + BE + CD = BD + CD = BC.

Следовательно, периметр треугольника ΔEDO равен длине отрезка BC.