50. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС-24 и ВС=16. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Пусть BD - касательная к окружности с центром A, проходящей через C. Тогда AC = 24, BC = 16. Треугольник ABD - прямоугольный, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, AC = AD = 24, AB = AC + BC = 24 + 16 = 40.

По теореме Пифагора для треугольника ABD:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2$$ $$BD^2 = 40^2 - 24^2 = (40 + 24)(40 - 24) = 64 \cdot 16 = 1024$$ $$BD = \sqrt{1024} = 32$$

Ответ: 32