49. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС-75 и ВС 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Пусть BD - касательная к окружности с центром A, проходящей через C. Тогда AC = 75, BC = 10. Треугольник ABD - прямоугольный, так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, AC = AD = 75, AB = AC + BC = 75 + 10 = 85.

По теореме Пифагора для треугольника ABD:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2$$ $$BD^2 = 85^2 - 75^2 = (85 + 75)(85 - 75) = 160 \cdot 10 = 1600$$ $$BD = \sqrt{1600} = 40$$

Ответ: 40