5. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону АС, если АВ = 7 см.

Пусть точка O - пересечение BM и AD.

В треугольнике ABO, AO - биссектриса и высота, значит, треугольник ABO - равнобедренный (AB = BO).

AD - биссектриса, следовательно, ∠BAD = ∠CAD.

Так как AB = 7 см, то BO = 7 см.

BM - медиана, следовательно, AM = MC, и AC = 2AM.

Рассмотрим треугольники AMO и ODC.

∠AMO = ∠DCO (накрест лежащие углы при параллельных прямых BM и CD и секущей AC).

∠AOM = ∠DOC (вертикальные углы).

AO = OD (из равенства треугольников ABO и ODC).

Следовательно, треугольники AMO и ODC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство сторон AM = BC = 7 см.

AC = 2AM = 2 × 7 = 14 см.

Ответ: 14 см.