4. Известно, что АВ = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

Дано: AB = AD, BC = DC.

AC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство углов ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольники ABO и ADO.

Дано: AB = AD, ∠BAO = ∠DAO.

AO - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство сторон BO = DO.

Ответ: BO = DO.