Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС прямой.

Дано: АМ - медиана треугольника АВС, АМ = ВМ = МС.

Доказать: один из углов треугольника АВС прямой.

Доказательство:

Т.к. АМ = ВМ, то треугольник АВМ - равнобедренный, следовательно, ∠МАВ = ∠МВА.

Т.к. АМ = МС, то треугольник АМС - равнобедренный, следовательно, ∠МАС = ∠МСА.

Обозначим ∠МАВ = ∠МВА = α, ∠МАС = ∠МСА = β.

Тогда ∠ВАС = α + β, ∠ВСА = β, ∠АВС = α.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠ВАС + ∠ВСА + ∠АВС = 180°.

(α + β) + β + α = 180°.

2α + 2β = 180°.

α + β = 90°.

Значит, ∠ВАС = α + β = 90°.

Следовательно, треугольник АВС - прямоугольный, что и требовалось доказать.