Решение задачи 113

а) Доказательство ∠OMP = ∠OPM

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники MNO и PQO.
2. Так как MN и PQ перпендикулярны прямой b, углы MNO и PQO прямые (90°).
3. По условию, MN = PQ.
4. Точка O – середина NQ, следовательно, NO = QO.
5. Таким образом, треугольники MNO и PQO равны по двум катетам (MN = PQ и NO = QO).
6. Из равенства треугольников следует, что MO = PO.
7. Следовательно, треугольник MOP – равнобедренный (MO = PO).
8. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠OMP = ∠OPM.

б) Найти ∠NOM, если ∠MOP = 105°

1. В треугольнике MOP, MO = PO, следовательно, ∠OMP = ∠OPM.
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠OMP + ∠OPM + ∠MOP = 180°.
3. Так как ∠MOP = 105°, получаем ∠OMP + ∠OPM = 180° - 105° = 75°.
4. Поскольку ∠OMP = ∠OPM, то ∠OMP = ∠OPM = 75° / 2 = 37.5°.
5. Рассмотрим треугольник MNO. Он прямоугольный, ∠MNO = 90°.
6. Сумма углов в треугольнике MNO равна 180°, поэтому ∠NOM + ∠NMO + ∠MNO = 180°.
7. Нам нужно найти ∠NOM. ∠NMO состоит из углов ∠OMP и угла между MN и прямой MO. Но так как треугольники MNO и PQO равны, то ∠NMO = ∠OQP.
8. ∠NOM = 180° - ∠MNO - ∠NMO = 180° - 90° - ∠OMP = 90° - 37.5° = 52.5°.

Ответ:

∠NOM = 52.5°.