43 KR-KM-16, ОМ-?

Пусть O - центр окружности, описанной около треугольника KRM. Известно, что KR = KM = 16. Треугольник KRM - равнобедренный. ON - высота и медиана треугольника KRM.

Поскольку KR = KM = 16, треугольник KRM - равнобедренный, следовательно KN = NR = RM/2. Поскольку треугольник KRM вписан в окружность, то центр O окружности лежит на высоте треугольника.

Пусть ON = x, тогда KO = 6 + x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ORM. В нем RM = KR/2 = 16/2 = 8. OM = OK = 6 + x.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ORM:

$$ OM^2 = ON^2 + RM^2 $$ $$ (6 + x)^2 = x^2 + 8^2 $$ $$ 36 + 12x + x^2 = x^2 + 64 $$ $$ 12x = 64 - 36 $$ $$ 12x = 28 $$ $$ x = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} $$

Таким образом, ON = 7/3.

Найдем OM:

$$ OM = 6 + x = 6 + \frac{7}{3} = \frac{18}{3} + \frac{7}{3} = \frac{25}{3} $$

OM = 25/3 ≈ 8.33

Ответ: $$OM = \frac{25}{3} \approx 8.33$$