Контрольная работа №1 Часть 1. Теоретические вопросы 1. Дайте определение вектора. Приведите пример. 2. Сформулируйте условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. 3. Запишите формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме. 4. Что такое направляющий вектор прямой? Как он связан с угловым коэффициентом? 5. Объясните, как найти расстояние от точки до плоскости.

Часть 1. Теоретические вопросы

1. Определение вектора: Вектор — это направленный отрезок, имеющий длину и направление. Он определяется двумя точками: начальной и конечной. Например, вектор \(\vec{AB}\) имеет начало в точке A и конец в точке B.
2. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов:
   • Коллинеарность: Два ненулевых вектора коллинеарны, если их направления совпадают или противоположны. В координатной форме, для векторов \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\), условие коллинеарности выглядит как пропорциональность их координат: \(\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}\) (если соответствующие координаты не равны нулю).
   • Перпендикулярность: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. В координатной форме: \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0\).
3. Формула скалярного произведения в координатной форме: Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\) равно сумме произведений их соответствующих координат: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \).
4. Направляющий вектор прямой: Направляющий вектор прямой — это вектор, параллельный этой прямой. Он определяет направление прямой в пространстве. В двумерном случае, если прямая имеет уравнение \( Ax + By + C = 0 \), то её нормальный вектор \( \vec{n} = (A, B) \). Направляющий вектор \( \vec{l} \) перпендикулярен нормальному, например \( \vec{l} = (-B, A) \) или \( \vec{l} = (B, -A) \). Угловой коэффициент \( k \) прямой связан с направляющим вектором \( \vec{l} = (l_x, l_y) \) как \( k = \frac{l_y}{l_x} \), если \( l_x \neq 0 \).
5. Расстояние от точки до плоскости: Чтобы найти расстояние от точки \( M(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \), используется формула: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \].