3. Найдите уравнение плоскости, перпендикулярной вектору п = (1, -2, 4) и проходящей через точку М(3, 0, -1).

Задание 3

Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору \( \vec{n} = (A, B, C) \) и проходящей через точку \( M(x_0, y_0, z_0) \), имеет вид: \( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \).

В данном случае, вектор нормали \( \vec{n} = (1, -2, 4) \) (то есть \( A=1 \), \( B=-2 \), \( C=4 \)), а точка \( M(3, 0, -1) \) (то есть \( x_0=3 \), \( y_0=0 \), \( z_0=-1 \)).

Подставляем значения в формулу:
\( 1(x - 3) + (-2)(y - 0) + 4(z - (-1)) = 0 \>
\( x - 3 - 2y + 4(z + 1) = 0 \>
\( x - 3 - 2y + 4z + 4 = 0 \>
\( x - 2y + 4z + 1 = 0 \>.

Ответ: Уравнение плоскости: \( x - 2y + 4z + 1 = 0 \).