Решение задачи 2899

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и пусть они равны a. Радиус вписанной окружности r можно найти по формуле:

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу c:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2 + (2+\sqrt{2})^2} = \sqrt{2(2+\sqrt{2})^2} = (2+\sqrt{2})\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2$$

Тогда радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{(2+\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} + 2)}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Ответ: 1