5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5:4. Найдите площадь этого треугольника.

5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5:4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Пусть a = 9 см - катет прямоугольного треугольника, c : b = 5 : 4 - отношение гипотенузы к другому катету. Необходимо найти площадь S.

Пусть c = 5x, b = 4x. Тогда по теореме Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

$$(5x)^2 = 9^2 + (4x)^2$$

$$25x^2 = 81 + 16x^2$$

$$9x^2 = 81$$

$$x^2 = 9$$

$$x = 3 \text{ см}$$

Тогда гипотенуза c = 5 * 3 = 15 см, второй катет b = 4 * 3 = 12 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54 \text{ см}^2$$

Ответ: 54 см²