16. Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 68°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения касательных – C. Тогда угол $$ \angle ACB = 68^{\circ} $$. OA и OB – радиусы окружности, проведенные в точки касания, поэтому $$OA \perp AC$$ и $$OB \perp BC$$. Значит, $$ \angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ} $$. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам. Следовательно: $$\angle AOB = 360^{\circ} - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}$$ Теперь рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы окружности). Значит, $$ \angle OAB = \angle OBA $$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Следовательно: $$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ}$$ $$2 \cdot \angle ABO = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$$ $$\angle ABO = \frac{68^{\circ}}{2} = 34^{\circ}$$ Итак, угол ABO равен **34°**.