Карточка 6. «Производная». Найдите производную функцию. 3 1) + 2 cosx + √2 x² 2) ln x sin x 3) x³ +4x x-7 4) ex+8

1) Найдем производную функции y = 3/x² + 2cos(x) + √2:

Производная суммы равна сумме производных: y' = (3/x²)' + (2cos(x))' + (√2)'

(3/x²)' = -6/x³

(2cos(x))' = -2sin(x)

(√2)' = 0

Следовательно, y' = -6/x³ - 2sin(x) + 0 = -6/x³ - 2sin(x)

2) Найдем производную функции y = ln(x) \( \cdot \) sin(x):

Производная произведения: (u \( \cdot \) v)' = u' \( \cdot \) v + u \( \cdot \) v'

u = ln(x), u' = 1/x

v = sin(x), v' = cos(x)

Следовательно, y' = (1/x) \( \cdot \) sin(x) + ln(x) \( \cdot \) cos(x) = sin(x)/x + ln(x)cos(x)

3) Найдем производную функции y = (x³ + 4x) / (x - 7):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = x³ + 4x, u' = 3x² + 4

v = x - 7, v' = 1

Следовательно, y' = ((3x² + 4) \( \cdot \) (x - 7) - (x³ + 4x) \( \cdot \) 1) / (x - 7)² = (3x³ - 21x² + 4x - 28 - x³ - 4x) / (x - 7)² = (2x³ - 21x² - 28) / (x - 7)²

4) Найдем производную функции y = e^(x² + 8):

Производная сложной функции: y' = e^(x² + 8) \( \cdot \) (x² + 8)'

(x² + 8)' = 2x

Следовательно, y' = 2xe^(x² + 8)