Карточка 5. «Производная». Найдите производную функции. 1) 3√x - 2x + √3 2) 1. sin x x² 3) x²-2x x+3 4) In (x³+1 3)

1) Найдем производную функции y = 3√x - e^(2x) + √3:

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: y' = (3√x)' - (e^(2x))' + (√3)'

(3√x)' = 3 \( \cdot \) (1 / (2√x)) = 3 / (2√x)

(e^(2x))' = e^(2x) \( \cdot \) (2x)' = 2e^(2x)

(√3)' = 0

Следовательно, y' = 3 / (2√x) - 2e^(2x) + 0 = 3 / (2√x) - 2e^(2x)

2) Найдем производную функции y = (1/x²) \( \cdot \) sin(x):

y = x⁻² \( \cdot \) sin(x)

Производная произведения: (u \( \cdot \) v)' = u' \( \cdot \) v + u \( \cdot \) v'

u = x⁻², u' = -2x⁻³ = -2 / x³

v = sin(x), v' = cos(x)

Следовательно, y' = (-2 / x³) \( \cdot \) sin(x) + (1/x²) \( \cdot \) cos(x) = -2sin(x) / x³ + cos(x) / x²

3) Найдем производную функции y = (x² - 2x) / (x + 3):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = x² - 2x, u' = 2x - 2

v = x + 3, v' = 1

Следовательно, y' = ((2x - 2) \( \cdot \) (x + 3) - (x² - 2x) \( \cdot \) 1) / (x + 3)² = (2x² + 6x - 2x - 6 - x² + 2x) / (x + 3)² = (x² + 6x - 6) / (x + 3)²

4) Найдем производную функции y = ln((x³ + 1) / 3):

y = ln(x³/3 + 1/3)

Производная сложной функции: y' = (1 / (x³/3 + 1/3)) \( \cdot \) (x³/3 + 1/3)'

(x³/3 + 1/3)' = x²

Следовательно, y' = x² / (x³/3 + 1/3) = (3x²) / (x³ + 1)