Карточка 2. «Производная». Найдите производную функции. 1) x5 + √x - ln x 3) x+7 x-1 2) ex. 3 cos x 4) (x-2)*

1) Найдем производную функции y = x⁵ + √x - ln(x):

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных: y' = (x⁵)' + (√x)' - (ln(x))'

(x⁵)' = 5x⁴

(√x)' = 1 / (2√x)

(ln(x))' = 1 / x

Следовательно, y' = 5x⁴ + 1 / (2√x) - 1 / x

2) Найдем производную функции y = eˣ \( \cdot \) 3cos(x):

Производная произведения: (u \( \cdot \) v)' = u' \( \cdot \) v + u \( \cdot \) v'

u = eˣ, u' = eˣ

v = 3cos(x), v' = -3sin(x)

Следовательно, y' = eˣ \( \cdot \) 3cos(x) + eˣ \( \cdot \) (-3sin(x)) = 3eˣ(cos(x) - sin(x))

3) Найдем производную функции y = (x + 7) / (x - 1):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = x + 7, u' = 1

v = x - 1, v' = 1

Следовательно, y' = (1 \( \cdot \) (x - 1) - (x + 7) \( \cdot \) 1) / (x - 1)² = (x - 1 - x - 7) / (x - 1)² = -8 / (x - 1)²

4) Найдем производную функции y = 1 / (x - 2)⁴:

y = (x - 2)⁻⁴

y' = -4 \( \cdot \) (x - 2)⁻⁵ \( \cdot \) (x - 2)'

(x - 2)' = 1

Следовательно, y' = -4 / (x - 2)⁵