Карточка 4. «Производная». Найдите производную функции. 1)+2x² + ex x 2) ln x cos x 3) -5x x+4 4) √5-2x

1) Найдем производную функции y = 1/x + 2x² + eˣ:

Производная суммы равна сумме производных: y' = (1/x)' + (2x²)' + (eˣ)'

(1/x)' = -1/x²

(2x²)' = 4x

(eˣ)' = eˣ

Следовательно, y' = -1/x² + 4x + eˣ

2) Найдем производную функции y = ln(x) \( \cdot \) cos(x):

Производная произведения: (u \( \cdot \) v)' = u' \( \cdot \) v + u \( \cdot \) v'

u = ln(x), u' = 1/x

v = cos(x), v' = -sin(x)

Следовательно, y' = (1/x) \( \cdot \) cos(x) + ln(x) \( \cdot \) (-sin(x)) = cos(x)/x - ln(x)sin(x)

3) Найдем производную функции y = (-5x) / (x + 4):

Производная частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = -5x, u' = -5

v = x + 4, v' = 1

Следовательно, y' = (-5 \( \cdot \) (x + 4) - (-5x) \( \cdot \) 1) / (x + 4)² = (-5x - 20 + 5x) / (x + 4)² = -20 / (x + 4)²

4) Найдем производную функции y = √(5 - 2x):

y = (5 - 2x)^(1/2)

Производная сложной функции: y' = (1/2) \( \cdot \) (5 - 2x)^(-1/2) \( \cdot \) (5 - 2x)'

(5 - 2x)' = -2

Следовательно, y' = (1/2) \( \cdot \) (5 - 2x)^(-1/2) \( \cdot \) (-2) = -1 / √(5 - 2x)