Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ZEMK = ∠FMK.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники EKC и FKC.
   • EK = FK (по условию).
   • EC = FC (по условию).
   • KC - общая сторона.
2. Следовательно, треугольники EKC и FKC равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников EKC и FKC следует, что ∠EKC = ∠FKC.
4. Так как EK = FK и EC = FC, то точка K лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EF, а значит, KM - серединный перпендикуляр к отрезку EF.
5. Следовательно, KM является биссектрисой угла ∠EKF.
6. Таким образом, ∠EMK = ∠FMK.

Ответ: ∠EMK = ∠FMK доказано.